Beweisbedürftigkeit von Nebenforderungen

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Meine Frage bezieht sich auf die Erforderlichkeit einer Beweisaufnahme, wenn die Beklagtenseite bestimmte Nebenforderungen oder Tatsachen am Rande bestreitet.

1)
Wichtigstes Beispiel: Der Kläger möchte als Nebenforderung den Ersatz vorgerichtlicher Anwaltskosten. Die Beklagte bestreitet, dass diese in Rechnung gestellt worden sind und bezahlt worden sind. Wenn der Kläger nun von selbst keinen Beweis anbietet, muss das Gericht dann hierauf hinweisen und ggf. Beweis erheben oder kann man vielleicht über § 287 ZPO darauf verzichten und die Anwaltskosten dennoch zusprechen, wenn die weiteren Voraussetzungen vorliegen?

2)
Eine etwas andere Situation, die mich auch verunsichert: Der Kläger macht materiellen Schadensersatz für Behandlungskosten aufgrund eines Unfalls geltend. Die Beklagte sagt, dass diese doch sicherlich von seiner Versicherung übernommen worden seien. Muss der Kläger hierzu etwas sagen? Ich schätze, das wäre eher ein Vortrag der Beklagten ins Blaue hinein, oder?

Danke für die Hilfe!