eigene RA-Zulassung neben Kanzlei - wann/wie ansprechen?

[Egal]

Es gibt keine "private Zulassung". Wenn du als Rechtsanwalt zugelassen bist, gilt diese Zulassung unabhängig von deinem Arbeitgeber. D.h. du verlierst sie auch nicht, wenn du kündigst (anders ist es mit der Befreiung von der DRV, die muss mit jedem Jobwechsel neu beantragt werden).
Etwas anderes gilt auch, wenn du "nur" als Syndikusrechtsanwalt zugelassen bist, aber das nehme ich nicht an, wenn du für eine Wirtschafts- also Rechtsanwaltskanzlei arbeitest. Der Syndikus-RA gilt nur für das jeweilige Unternehmen und möchte man privat als Rechtsanwalt arbeiten, benötigt man eine Doppelzulassung als RA und Syndikus-RA.

Was steht in deinem Arbeitsvertrag? Sind darin Nebentätigkeiten zugelassen? Vermutlich nicht. Wenn nichts im Vertrag steht, gilt trotzdem ein vertragliches Wettbewerbsverbot als Nebenpflicht aus dem Vertrag. Du musst dir daher von deinem Chef die Genehmigung holen, dass du privat Mandate bearbeiten darfst. Am besten lässt du dir die schriftlich geben.